Conservación de la Energía Cinética

Puesto que no existe fricción en el flujo, podemos anticipar que la energía cinética se conserva. Teniendo en cuenta que la densidad es constante, la energía cinética viene dada por . Esta expresión se obtiene de la siguiente manera:

Multipliquemos la ecuación (1) por , con lo que se obtiene

El lado izquierdo de la ecuación (3) puede modificarse de la forma:

El lado derecho también puede ser modificado:

El último término de (5) es igual a cero, porque s es perpendicular a . También, donde es dos veces la energía cinética. Teniendo en cuenta esto, sustituimos las ecuaciones (4) y (5) en (3), y obtenemos

Si aplicamos de nuevo el teorema de Gauss y el hecho de que es cero en el contorno, resulta que el lado derecho de (6) se anula, dejando

lo que básicamente nos dice que la energía cinética media se conserva en una región cerrada. Acabamos de demostrar que en el flujo real, en un dominio cerrado, se conservan la energía cinética y la enstrofía. También puede demostrase que estas ligaduras de conservación aseguran que no puede haber una traslación de energía hacia la región del espectro de altos números de onda en el sistema de ecuaciones en derivadas parciales. (Véase Haltiner y Williams, para una demostración y discusión de lo que acabamos de decir).

Esto conduce a la idea, que ya se ha demostrado en la práctica ser verdadera, de que la parte advectiva del esquema de diferencias finitas debería ser diseñada para que se conservaran la enstrofía y la energía cinética. La forma de hacer esto se sale de los objetivos de este curso; basta con decir que se puede conseguir utilizando una malla cuidadosamente diseñada.