Elementos Finitos en más de 1 dimensión

El método de elementos finitos también puede aplicarse en dos dimensiones. En los problemas bidimensionales, lo primero que debe hacerse es dividir el dominio de la mejor manera posible en elementos pequeños. Los dos tipos de elementos que se usan son rectángulos y triángulos. Uno y otro presentan sus ventajas y sus inconvenientes. Los elementos rectangulares son computacionalmente eficientes, pero sólo son adecuados para dominios rectangulares. Los triángulos resultan computacionalmente costosos, pero son muy adecuados para dominios irregulares. La elección de un tipo u otro de elemento es una decisión importante. ¿ Podemos permitirnos la generalidad de los triágulos en comparación con los rectángulos?

Figura: Mallas rectangular y triangular

En ambos tipos de elementos lineales (triángulos y rectángulos) asociamos una función base con cada uno de sus vértices (o nodos). La función de base asociada con cada nodo se define de manera que vale 1 en el nodo y varía linealmente hasta cero en los nodos vecinos, y es idénticamente cero en todos los demas puntos del dominio. En la figura superior, el nodo dado se denota por un cuadrado, y los nodos vecinos por círculos. La función base asociada vale 1 en el cuadrado, cero en los círculos y es no nula solamente en las regiones sombreadas.

Para un elemento rectangular, la versión algebraica de la función de base en un rectángulo rayado es (a + bx)(c + dy), donde a,b,c y d se determinan de forma que la función base es igual a 1 en el nodo dado, y cero en los otros tres nodos. Para el caso triangular, la expresión de la función base en una región triangular rayada es (a + bx + cy), y el modo de determinar los coeficientes a, b y c es el mismo que en el caso rectangular.

Si tratamos de visualizar estos elementos finitos en 3D, veríamos lo siguiente:

Figura: Elemento rectangular

Figura: Elemento triangular

En tres dimensiones, el dominio se divide en tetraedros o paralelepípedos.