Propiedades de los armónicos esféricos

Además de ser ortogonales, continuos y diferenciables en los polos, una importante propiedad de los armónicos esféricos es que satisfacen la relación

En otras palabras, la laplaciana de un armónico esférico es proporcional al armónico esférico mismo. Esto implica que la vorticidad asociada a un componente armónico esférico particular es sencillamente proporcional a la función de corriente para el mismo componente. El método espectral es particularmente ventajoso para solucionar la ecuación de vorticidad debido a la relación (8). Utilizando (8), la resolución de la ecuación de Poisson para la función de corriente resulta trivial. Y esto no solamente permite ahorrar tiempo computacional, sino que además permite eliminar el error de truncamiento asociado con la formulación en diferencias finitas del operador laplaciana. Por razones similares, es fácil de resolver la ecuación de Helmholz que surge en la discretización temporal semi-implícita.

En el método espectral sobre la esfera, la función de corriente se expande en una serie finita de armónicos esféricos mediante la expresión

donde es la amplitud compleja para el armónico esférico y el sumatorio es tanto sobre como sobre . Los coeficientes individuales del armónico esférico están relacionados con la función de corriente mediante la transformada inversa

donde , y denota el número complejo conjugado de .