Mallas 2D y Mallas Variables

  Revisión de diferencias centradas

Aproximando la primera derivada

El gradiente (c.r.a. tex2html_wrap_inline194) de una función, tex2html_wrap_inline196 , en un punto tex2html_wrap_inline198 puede aproximarse utilizando un esquema de diferencias finitas centradas. Tomamos valores de la función a ambos lados del punto. Tanto tex2html_wrap_inline200 como tex2html_wrap_inline202 representan una distancia tex2html_wrap_inline204 desde tex2html_wrap_inline198 (véase Figura 2). El gradiente se puede estimar por medio de la siguiente expresión:

displaymath190

Figura 2

Los puntos parpadeantes indican los puntos de malla utilizados por el esquema de diferencias centradas, al aproximar el gradiente de una función con respecto de , en el punto .

Para aproximar el gradiente de una función tex2html_wrap_inline208 en el punto tex2html_wrap_inline210 , con respecto de tex2html_wrap_inline212 , es necesario hacer un cálculo similar, pero utilizando los valores de encima y debajo tex2html_wrap_inline210 (véase Figura 3). La diferencia entre los puntos, en este caso, es tex2html_wrap_inline216 y la aproximación puede escribirse:

displaymath191

Figura 3

Los puntos parpadeantes indican los puntos de la malla usados en el esquema de diferencias centradas, al aproximar el gradiente de una función con respecto de , en el punto (, ).

Aproximando la segunda derivada y el laplaciano

Para aproximar la segunda derivada de una tex2html_wrap_inline144 con respecto de tex2html_wrap_inline194 , se puede usar el siguiente esquema de segundo orden:

displaymath218

Figura 4

Los puntos parpadeantes indican los puntos de la malla utilizados en el esquema de diferencias centradas, al aproximar el gradiente de una función con respecto de , en el punto .

Análogamente, si la función también existe en la dirección tex2html_wrap_inline212 - la segunda derivada con respecto de tex2html_wrap_inline212 puede aproximarse como

displaymath219

Figura 5

Los puntos parpadeantes indican los puntos de la malla utilizados en el esquema de diferencias centradas, al aproximar el gradiente de una función con respecto de , en el punto (, ).

El laplaciano es simplemente la suma de las derivadas segundas; si suponemos que tex2html_wrap_inline230 , podemos usar las dos aproximaciones anteriores de las derivadas segundas para obtener una aproximación del laplaciano:

displaymath256

displaymath257

Figura 6

Los puntos parpadeantes indican los puntos de la malla utilizados en el esquema de diferencias centradas, al aproximar el laplaciano de una función en el punto (, ).