Interpolación Estadística

  Introducción a la Interpolación Estadística

La interpolación estadística es el uso de un conjunto de observaciones de una variable de estado para mejorar un conjunto de valores estimados de esa variable. Más concretamente, puede ser una forma de restringir un modelo de PNT combinando la salida de dicho modelo con las observaciones reales para conseguir unos resultados más realistas. En la práctica, la salida de un modelo se obtiene en una malla regular, mientras que las observaciones procederán de estaciones irregularmente situadas. En este caso, lo que trataremos de conseguir mediante la interpolación estadística es una combinación de los dos conjuntos de datos de manera que se minimice la varianza del conjunto de los resultados.

Comenzaremos considerando el caso univariante, donde se modelizará una única variable de estado en una malla de análisis de I puntos  , y siendo observada en K estaciones separadas en puntos  . Ahora, nuestra variable de estado interpolada estadísticamente es la mejor estimación del estado real, basada en el estado anterior (el 'first guess') modificado por el incremento en la observación, es decir, la diferencia entre el estado observado y el estado de referencia. Por tanto:

El incremento en la observación es una combinación de los incrementos en las observaciones de todas las estaciones ponderados por (definido abajo).

Suponemos que y no tienen errores sistemáticos (son valores sin sesgo), porque, incluso si existiera sesgo, podría ser eliminado antes de realizar cualquier cálculo.

Para abreviar, se suelen reescribir las expresiones para las variables de estado de forma abreviada, así:  (  ) =  ,  (  ) =  ,  (  ) =  , y   (  ) =  . Así, la ecuación anterior resulta:

La ecuación (1) es 'sensible'; mueva el ratón sobre los términos de la ecuación y verá su significado.

Necesitamos saber qué valor de los pesos minimizará la varianza del estado analizado  . A continuación se presenta una descripción de cómo se realiza esta elección. Realice el cálculo a modo de ejercicio matemático para obtener el resultado dado en la ecuación 2 que aparece abajo. Primero reste el estado real de ambos lados de la ecuación 1, después cuadre ambos lados de la ecuación y aplique el operador <>, para obtener una expresión para el análisis de la varianza =<( - )²>. Entonces, diferenciando respecto a  , e igualando a cero, encontramos el conjunto de pesos que minimizan la varianza. Esto conduce al siguiente resultado:

Finalmente, podemos filtrar el resultado eliminando algunos términos. El lado derecho de la ecuación de arriba puede desarrollarse del siguiente modo:

Los términos de la forma <( - )( - )> son las covarianzas entre el error de los valores de referencia y el error en las observaciones. Mientras que el valor de referencia no se utilice como información a priori para hacer las observaciones ( como se debe hacer en la recuperación de datos de satélite), no habrá covarianza entre el valor de referencia y las observaciones, y por tanto, estos términos pueden despreciarse. Se puede aplicar el mismo procedimiento al lado izquierdo de la ecuación, quedándonos finalmente la siguiente ecuación que determina los pesos  :

La ecuación (2) es 'sensible'; mueva el ratón sobre los términos de la ecuación y verá su significado.

Las ecuaciones 1 y 2 representan el algoritmo de la interpolación estadística. En la siguiente página se presentarán estas ecuaciones de forma más concisa en notación matricial y se discutirán las propiedades de algunas de estas matrices.